Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy est un objet géométrique lié à des propriétés arithmétiques spécifiques liées aux nombres de Pisot. On propose ici de découper à l’aide d’une découpe laser, soit dans du plastique soit dans du bois (plus économique) un puzzle dont les pièces sont les fractales de Rauzy. En manipulant ces pièces, on peut tester plusieurs propriétés intéressantes [1] :

• Cette fractale pave le plan : En translatant plusieurs copies de façon périodique on recouvre le plan.
• La fractale est autosimilaire. En prenant trois homothéties de cette fractale, on obtient une nouvelle homothétie de la fractale originale. En itérant l’opération, on obtient une seconde manière de paver le plan avec la fractale de Rauzy, mais cette fois de façon apériodique. Numériquement cette auto-similarité permet de dessiner de plus en plus précisément le bord de la fractale.
• Cette composition illustre également un échange de domaine lié à la fractale.

Les fichiers joints contiennent les contours de la fractale pour être découpés au laser sur une planche de 50 * 60 cm. Le premier fichier contient les contours de 64 tuiles sur quatre niveaux d’itération pour des pièces allant de 4cm à 11cm. Le second contient 37 tuiles représentant 5 niveaux d’itération pour des pièces allant de 4cm à 16cm. La centaine de pièces permettent d’atteindre le dixième niveau d’itération, occupant un demi mètre carré.

[1] A. Messaoudi, Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arithmetica, 2000. Voir l'article en ligne