La somme des premières puissances d'entiers

Vous connaissez sans-doute "l’escalier de Gauß", avec 1 marche, 2 marches, 3 marches… $n$ marches, un polygone dont l’aire est la somme des entiers $n$. Il en faut 2 qui se complètent pour obtenir "presque" un carré, en fait un rectangle de côtés $n$ et $n+1$, menant à la démonstration géométrique que

$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

De même, si on considère une pyramide, dont chaque étage est un carré, le plus haut de côté 1 (en fait un cube), puis de côté 2, de côté 3 etc, de côté $n$, son volume est la somme $1+2^2+\dots+n^2$. Et il en faut 3 (pour peu qu’on ait aligné tous les carrés dans un coin) pour faire presque un cube, de côtés $n$, $n+1$ et... un côté crénelé. En fait il en faut 6 pour faire un pavé droit d’où rien de dépasse, de côtés $n$, $n+1$ et $2n+1$. Cela donne la formule

$$1+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$

De même, la somme des cubes $1+2^3+\dots+n^3$ peut-être réalisée comme le volume d’une somme de cubes, mais chaque cube $n^3$ peut-être découpé en $n$ carrés de côté $n$, qu’on peut étaler dans le plan et cela couvre exactement un carré de côté

$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Ce qui donne

$$1+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.$$

Ici nous avons ces sommes qui sont données sous forme manipulable.