L'aire du dodécagone

Vous savez qu'Archimède a montré que le rapport de l'aire d'un disque par le carré de son rayon est le même que le rapport de son périmètre par son diamètre, ce qui n'était pas du tout évident. Il suffit pour ça de découper deux demi-disques en de nombreuses parts égales, les solidariser par leur bord avec du tissu par exemple et les insérer l'un dans l'autre pour obtenir presqu'un rectangle de côtés $r$ et $\pi r$. Il a également encadré ce nombre $\pi$ en coinçant le cercle entre deux polygones réguliers, l'un inscrit, l'autre circonscrit, avec $2^n$, ou $3\times 2^n$ côtés. Une occurrence intéressante est le dodécagone. 

Et on peut "calculer" son aire à l'aide de ce tangram: prenez un quadrant du dodécagone et distribuez-en les pièces dans les coins pour compléter les trois autres quarts du dodécagone, ce qui prouve que le dodécagone dans le carré de côté 2 (qui est donc inscrit dans le disque unité) a comme aire 3.