Description
Ce casse-tête est composé de 9 pièces solides qui, une fois assemblées, donnent un cube troué dont la surface est de genre 3 (elle a 3 "trous"). Sur cette surface, les pièces solides composent une "carte complète", c'est-à-dire dont chacune des 9 régions est frontalière des 8 autres . On visualise bien cette carte si les pièces sont de 9 couleurs différentes, illustrant ainsi le théorème des 9 couleurs sur les surfaces de genre 3.
Fichier(s)
Kits disponibles
Pas de kit disponible pour cette activité
Les fichiers stl fournis permettent de fabriquer séparément chacune des 9 pièces (numérotées de 1 à 9 en cohérence avec le graphe dual à la carte mentionné ci-dessous) sur une imprimante 3D. Il est conseillé d'utiliser des filaments de couleurs faciles à distinguer.
Compléments topologiques.
1) Chaque région de la carte a la topologie d'un disque, et les frontières entre les régions sont connexes.
2) Ladite carte complète est duale du graphe complet dont une représentation est fournie en pièce jointe (source: Yoonah Lee, On Genus g Orientable Crossing Numbers of Small Complete Graphs, https://arxiv.org/abs/1902.02759).
3) C'est topologiquement la même carte que celle présentée sur le Rulpidon (une autre surface de genre 3) à la fin du livre "Le Rulpidon sous toutes ses coutures" par Sylvie Benzoni-Gavage (Dunod 2024).
4) Comme activité complémentaire au casse-tête lui-même, on peut vérifier que la formule d'Euler f+s-a = - 4 (= 2 - 2x3) est satisfaite pour la carte comme pour le graphe.
- Carte: f=9 (9 octogones), s=23 (22 sommets de degré 3 et un de degré 6, à repérer - il y en a 18 "dehors" et 4 dans les "tubes"), a=9x8/2 = 36.
- Graphe: s=9, f=23 (22 triangles et un hexagone), a=36 (=(22x3+1x6)/2).
Complément algébro-géométrique.
Cette carte semble symétrique de l'extérieur, mais elle ne l'est globalement pas (on peut observer les ruptures de symétrie dans les trous). Ceci illustre un théorème évoqué dans l'article "Le dessous des cartes du rulpidon" par Sylvie Benzoni-Gavage et Rémi Coulon, Pour la science 2024. (Les arguments invoqués sur le Rulpidon fonctionnent de la même manière sur le cube troué.)
Casse-tête réalisé à l'Institut Henri Poincaré / Fablab de Sorbonne Université pendant le trimestre #illustratingMath 2026.